Wpis opublikowany przez Hakken
1037 wyświetleń
Czytelnik powinien być zaznajomiony z podstawami algebry abstrakcyjnej (moje artykuły na ten temat: 1,2) oraz podstawowymi zagadnieniami i oznaczeniami matematycznymi.
Abstrakt
Przestrzenie liniowe to główny obiekt badań algebry liniowej, okazują się one niezwykle przydatne w innych gałęziach matematyki oraz fizyce (inżynierii), ze względu na swoje proste opisanie przez bazę.
Jest to zbiór wektorów, które mogą być dodawana oraz skalowane.
Definicja
Niech (X,+) będzie grupą abelową, w której elementem neutralnym jest 0, a element przeciwny do a oznaczymy przez -a.
Załóżmy, że w X określono działanie mnożenia (oznaczmy je przez kropkę, chociaż czasem będę ją pomijał) przez elementy z ciała K takie, że:
- Jest przemienne
- Posiada element neutralny (jedynkę)
- Jest łączne i rozdzielne względem dodawania
Wówczas zbiór X wraz z działaniami mnożenia i dodawania nazwiemy przestrzenią liniową nad ciałem K.
Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami.
Przykłady
Zbiór wielomianów z działaniami dodawania wielomianów i mnożenia ich przez liczbę jest przestrzenią liniową.
Zbiór funkcji z niepustego zbioru w ciało K z funkcją zerową, składaniem funkcji (dodawanie) oraz mnożeniem ich przez liczbę z ciała K też jest przestrzenią liniową.
Definicja
Jeżeli X jest przestrzenią liniową nad jakimś ciałem, Y jest niepustym podzbiorem X oraz Y też jest przestrzenią liniową nad tym samym ciałem (z tymi samymi działaniami), to mówimy, że Y jest podprzestrzenią (liniową) X.
Y jest podprzestrzenią liniową X wtedy, i tyle wtedy, gdy:
Przykłady
X jest podprzestrzenią liniową X.
Wielomiany niższego stopnia są podprzestrzenią wielomianów wyższego stopnia, jeżeli są nad tym samym ciałem i są to wyrażenia tych samych zmiennych.
Kombinacja liniowa
Niech 
oraz 
.
Wtedy x jest kombinacją liniową wektorów 
.
Liniowa zależność
Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy, i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.
Bardzo praktyczną obserwacją jest, że układ jest liniowo niezależny, jeżeli suma 
wtedy, i tylko wtedy, gdy 
.
Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne (czyli układ wektorów jest liniowo zależny, jeżeli istnieje taki układ skalarów (z których przynajmniej jeden jest niezerowy), że suma wektorów pomnożonych przez skalary wynosi 0).
Oznaczenie
Zbiór wszystkich kombinacji liniowych układu wektorów oznaczamy 
. Czasami zamiast słowa span używa się lin.
Uwaga
Jeżeli 
, to jest podprzestrzenią X.
Rozpinanie przestrzeni
Jeżeli X jest przestrzenią liniową w której zawiera się 
i 
, to mówimy, że przestrzeń X jest rozpięta przez ten układ wektorów (lub, że ten układ wektorów rozpina przestrzeń X).
Baza przestrzeni liniowej
Układ wektorów nazwiemy bazą, jeżeli jest to układ liniowo niezależny oraz rozpina daną przestrzeń.
Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy liczbę jej wektorów bazowych i oznaczamy słowem dim.
Przykładowe zadanie dla czytelników: sprawdź, czy układ 
jest bazą 
.
Jak zawsze zachęcam do zadawania pytań.
5 komentarzy
Rekomendowane komentarze