Wpis opublikowany przez Hakken
1270 wyświetleń
Abstrakt
Wielomiany to wyrażenia powstałe z połączenia zmiennych i stałych. Są bardzo popularne, ponieważ łatwo obliczać ich wartość a także wykonywać inne operacje.
Wielomiany
Wielomianem nazywamy funkcję/wyrażenie postaci 
, gdzie x jest zmienną, a 
to współczynniki.
Jeżeli wielomian n-tego stopnia ma m (
) pierwiastków, to możemy go zapisać jako 
to pierwiastki tego wielomianu, a wielomian R to reszta.
Oznaczenie
Zbiór wielomianów o współczynnikach w ciele 
co najwyżej n-tego stopnia zmiennej x będziemy oznaczać przez 
.
Pierwiastkiem wielomianu nazwiemy taki argument, dla którego wartość wielomianu wynosi 0.
Dowolny wielomian (którego dziedziną jest pierścień całkowity - dodaję to pro forma, gdyż dla tego tekstu nie będzie to miało znaczenia) n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków.
Dodawanie i mnożenie wielomianów
Wielomiany można bardzo łatwo dodawać, wystarczy dodać współczynniki obu wielomianów przy każdej potędze zmiennej.
Mnożenie wielomianów jest nieco bardziej pracochłonne, trzeba każdy element z pierwszego wielomianu pomnożyć przez każdy element z drugiego. Należy przy tym pamiętać, że o ile współczynnik mnożymy, to potęgę przy zmiennej dodajemy.
Dzielenie wielomianów
Jeżeli mamy dwa wielomiany, i chcemy podzielić jeden przez drugi, to robimy to tak (W(x) będzie wielomianem dzielonym, a P(x) dzielnikiem):
- Porządkujemy wielomiany (zapisujemy oba w porządku malejącym co do potęg zmiennej)
- Dzielimy pierwszy wyraz W(x) przez pierwszy wyraz P(x)
- Otrzymany jednomian mnożymy prez P(x) i odejmujemy od W(x). W taki sposób dostajemy Wielomian R1(x)
- Pierwszy wyraz z R1(x) dzielimy przez pierwszy wyraz P(x)
- Otrzymany jednomian mnożymy przez P(x) i odejmujemy od R1(x). Dostajemy nowy wielomian, R2(x)
- Powtarzamy powyższe kroki do momentu, kiedy otrzymany wielomian R będzie niższego stopnia niż wielomian P. W szczególności jeżeli R będzie równe 0, to znaczy, że wszystkie pierwiastki P są pierwiastkami W.
Krotność pierwiastków
Jeżeli jakiś pierwiastek występuje w rozkładzie wielomianu k razy (przy czym k jest liczbą naturalną większą niż 1), to mówimy, że jest to pierwiastek k-krotny.
Przykłady
Wielomian 
ma dwa pierwiastki (1 oraz -3).
Wielomian 
nie ma pierwiastków.
Wielomian 
ma dwa pierwiastki ($-1 -\imath \sqrt{2} oraz -1 +\imath \sqrt{2}).
Wielomian 
ma jeden pierwiastek (1) podwójny.
Szukanie pierwiastków
Dla wielomianów stopnia pierwszego pierwiastek łatwo obliczyć.
Do wyliczenia pierwiastków równania kwadratowego można użyć wyróżnika, oznaczanego (i potocznie nazywanego) deltą.
Dla równania 
wyróżnik jest równy 
.
Pierwiastki są równe 
.
Oczywiście w dziedzinie liczb rzeczywistych nie można wyciągać pierwiastka drugiego stopnia z liczby ujemnej, więc gdzie wyróżnik jest mniejszy niż zero próżno szukać pierwiastków rzeczywistych.
Dla wielomianów wyższych stopni szukanie pierwiastków jest bardzo (lub przynajmniej dość) uciążliwe.
Istnieją twierdzenia (np. twierdzenie Sturma) które pozwalają określić gdzie mniej więcej znajdują się pierwiastki.
Zasadnicze twierdzenie algebry
Stopień wielomianu zespolonego równy jest liczbie krotności jego pierwiastków (czyli np. wielomian trzeciego stopnia może mieć jeden pierwiastek potrójny, jeden podwójny i jeden zwykły lub trzy zwykłe).
Dowód tego twierdzenia pozwolę sobie pominąć, bo jest dość trudny i wymaga wiedzy spoza moich wpisów i elementarnej wiedzy.
16 komentarzy
Rekomendowane komentarze