Wpis opublikowany przez Hakken
824 wyświetleń
Przed przeczytaniem tego wpisu polecam zaznajomić się z częścią pierwszą: tutaj.
Krótkie wprowadzenie do funkcji trygonometrycznych
W tym wpisie będą potrzebne podstawowe informacje z zakresu funkcji trygonometrycznych, jednak ze względu na ich złożoność nie będę im poświęcał więcej miejsca niż to potrzebne do zrozumienia tego wpisu.
Weźmy dowolny kąt skierowany 
i ustawmy go tak, że w środku prostokątnego (kartezjańskiego) układu współrzędnych znajduje się jego wierzchołek, jedno ramie pokrywa się z dodatnią półosią, natomiast drugie ramie jest półprostą o początku w środku układu współrzędnych.
Obierzmy punkt M o współrzędnych (a,b) taki, że punkt M należy do półprostej wyznaczonej przez ramię kąta (to, które nie leży na dodatniej półosi), i niech r oznacza odległość punktu M od początku układu współrzędnych.
Ilustracja:
http://upload.wikime...on_by_angle.svg
Wtedy
Dodatkowo
Reprezentacja graficzna liczb zespolonych
Liczbę zespoloną 
można przedstawić na płaszczyźnie zespolonej.
Wprowadźmy na płaszczyznę prostokątny układ współrzędnych, tak, że jedna oś będzie określała część urojoną (Im z), a druga część rzeczywistą (Re z).
Wtedy liczbę z przedstawimy odmierzająć wartości a i b na odpowiedznich osiach.
Przykładowo liczbę 
przedstawimy tak:
Gdzie czerwona kropka to nasz punkt, a szara kreska to moduł liczby z.
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Jeśli oraz 
, to niech $\phi$ będzie miarą łukową kąta pomiędzy półosią Re z i modułem z.
Wtedy widać, że
A wtedy 
.
Jest to postać trygonometryczna liczby z.
Oznaczenie
nazywamy argumentem liczby zespolonej z i oznaczamy $arg z =\phi$.
Jeżeli arguemnt należy do przedziału 
, to nazwiemy go argumentem głównym i oznaczymy 
.
Mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej
Niech
Wtedy 
Wzór de Moivre'a
Jeśli 
, to
, gdzie n jest liczbą naturalną.
Dowód pominę, jest to dość nudny (ale niezbyt długi) dowód indukcyjny.
6 komentarzy
Rekomendowane komentarze