Skocz do zawartości

Public disclosure

  • wpisy
    20
  • komentarzy
    161
  • wyświetleń
    24219

[i]Czyli krótka rozprawa o ciele liczb zespolonych (część pierwsza)


Hakken

1467 wyświetleń

Osoby czytające ten wpis powinny być zaznajomione z pojęciem ciała oraz podstawowymi symbolami i pojęciami matematycznymi. Oba te zagadanienia zostały omówione w moich wpisach (tu i tu).

Abstrakt

Liczby zespolone zostały stworzone w celu ułatwienie obliczeń i unormowania sposobu myślenia w przypadku liczb ujemnych.

Składają się one z dwóch liczb rzeczywistych, stanowiących część rzeczytistą i urojoną.

Liczby zespolone z działaniami dodawania i mnożenia stanowią ciało.

Definicja

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (czyli dwie liczby rzezcywiste, przy czym ich kolejność ma znaczenie).

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez ql_95831229a611a4fc89d36872c8b2104c_l3.png.

Liczby zespolone zapisujemy w nawiasie, ja będę stosował nawias okrągły. Przykładowo ql_c8d701f972d7dd95ad6958252727ccb7_l3.png.

Działania na zbiorze liczb zespolonych

Niech ql_4e84863aa1005f54d1f436f4dfef691f_l3.png

  • Dodawania
    ql_f96c153a311ea2005228b2b02625d45e_l3.png
  • Mnożenie
    ql_465547eb1adca5385bc791ed4e7c39c0_l3.png

Tak definiujemy działania na liczbach zespolonych. Jest to jednak sposób absolutnie niepraktyczny i prawie nigdy się tak nie przeprowadza działań.

Łatwiejsze i bardziej uniwersalne sposoby na przeprowadzanie obliczeń przedstwię za chwilę.

Najpierw jednak...

Oznaczenia

  • Liczbę zespoloną ql_a4d74d20cf69f4429371ec7694d93db1_l3.png zapisujemy jako po prostu a.
  • Liczbę zespoloną ql_b23ea75f3f9c0bed68c2838e7981aa95_l3.png zapisujemy jako ql_f4260de763ad9ad70081ee979744b470_l3.png. Nazywamy tę liczbę jednostką urojoną.
  • Liczbę zespoloną ql_5dd613a000ca98a84f3ac1ab6e6f20b9_l3.png zapisujemy jako ql_abdfe365da8db714cfb8e3bb9a9a597d_l3.png
  • Liczbę zespoloną ql_adbab08dbf18744a9b7a7e409c257969_l3.png zapisujemy jako ql_0d1ebb529b07417678571307cbf826a7_l3.png.

Obliczamy ql_9fbbe2e3c18075e15b80520d7f90623a_l3.png

Użyjemy działania rozpisanego wyżej aby obliczyć kwadrat jednostki urojonej.

ql_71fdc67bb9b1da6d44514dfa23f241d3_l3.png

Kwadratem jednostki urojonej jest -1

Bardziej praktyczne działania na zbiorze liczb zespolonych

Zapisujemy liczby zespolone w postaci sumy dwóch składników (korzystamy z ostatniego punktu oznaczeń), i otrzymujemy

  • Dodawanie
    ql_ff24537d8eb669bbb108f962ecc6f720_l3.png
  • Mnożenie
    ql_a21c7540b04283cc09b4a17df2b69f6f_l3.png

Jak widać wyniki wychądzą te same, a nie trzeba pamiętać wzorów, można dodawać więcej liczb naraz itp.

Oznaczenia

Niech ql_64e87f358f4f5ad6538fd74d8ca241e7_l3.png.

Wtedy powiemy, że a jest częścią rzeczywistą liczby z, oznaczamy a=Re z.

Analogicznie b jest częścią urojoną, oznaczamy b=Im z.

Liczbę ql_f347d1581324ad6f944bec9043d8d3a5_l3.png nazywamy modułem liczby z, oznaczamy |z|.

Liczbę ql_19444de4ce6f4ca59c2f849c358aa9e4_l3.png nazywamy liczbą sprzężoną do z i oznaczamy ql_cef5d814fc765e19340f05f3c75dc3f0_l3.png.

Na jeden wpis taka ilość informacji powinna wystarczyć, wkrótce pojawi się część druga, gdzie zajmę się potęgowaniem liczb zespolonych oraz postacią trygonometryczną.

Zadania

Jeśli ktoś ma chęć poużywać liczb zespolonych w celu nabycia wprawy w operowaniu nimi, przestawiam kilka prostych równań do sprawdzenia.

Niech z będzie liczną zespoloną

  • suma z i sprzężenia z jest równa części rzeczywistej z pomnożonej przez 2.
  • iloraz z i sprzężenia z jest równy modułowi z podniesionemu do kwadratu.
  • Liczbą odwrotną do (niezerowego) z jest iloraz sprzężenia z przez kwadrat modułu z liczby z.

Przepraszam, że zadania w formie słownej, ale już przekroczyłem limit liczby wstawionych obrazków.

Jako ambitniejsze zadanie pozostawiam udowodnienie twierdzenia: Liczby zespolone wraz z działaniami dodawania i mnożenia, gdzie elementami neutralnymi są 0 i 1 tworzą ciało.

Podpowiedź w spoilerze:

Trzeba do tego celu zbadać czy zachodzą wszystkie warunki bycia ciałem. Można je sprawdzić w poprzednich wpisach.

W przypadku niejasności, uwag, pytań (również do zadań!) zachęcam do komentowania.

17 komentarzy


Rekomendowane komentarze

ale co to znaczy a,b,c,d E R ? I czemu uzywasz takiej głupiej czcionki dla E i R?

Taka rada ode mnie.

Jeśli chcesz, żeby tekst był czytelny używaj jednej czcionki w jego ramach, a już na pewno MUSISZ używać jednej czcionki w ramach jednego wyrazu!!!!

Link do komentarza

O liczby zespolone :) Fajnie jest sobie o tym znów poczytać :)

Pamiętam to uczucie, kiedy pierwszy raz miałem z tym do czynienia. To niejasne uczucie, że przez cały czas byłem konsekwentnie robiony w ch**a, bo tu powtarzali jak mantrę, że nie ma czegoś takiego, jak pierwiastek z np -1, a tu nagle, że jest i ma się całkiem dobrze :pokerglass:

Anyways- wpis zacny.

Teraz czekam tylko na materiał twojego autorstwa o pochodnych i całkach :)

Link do komentarza

O liczby zespolone smile_prosty.gif Fajnie jest sobie o tym znów poczytać smile_prosty.gif

Pamiętam to uczucie, kiedy pierwszy raz miałem z tym do czynienia. To niejasne uczucie, że przez cały czas byłem konsekwentnie robiony w ch**a, bo tu powtarzali jak mantrę, że nie ma czegoś takiego, jak pierwiastek z np -1, a tu nagle, że jest i ma się całkiem dobrze pokerglass.png

Teraz czekam tylko na materiał twojego autorstwa o pochodnych i całkach smile_prosty.gif

Wszystko zależy od dziedziny, w liczbach rzeczywistych pierwiastek faktycznie nie istnieje i nie ma w tym żadnego fałszu.

Na pochodne i całki też przyjdzie czas, ale wpierw chcę pociągnąć dalej algebrę (dokończenie liczb zespolonych, zasadnicze twierdzenie algebry, przestrzenie liniowe, macierze).

Link do komentarza

Zawsze ciekawiły mnie te liczby - z definicji są urojone, więc nie istnieją w świecie rzeczywistym, a mimo to, są używane do modelowania rzeczywistych zjawisk. Matematyka, panie!

Link do komentarza

Jak przypuszczam mnożysz (0,1) x (0,1) i wychodzi -1, bo to nawias jednostki urojonej?

Tak, liczba (0,1) jest tutaj liczbą zespoloną.

Jak odróżnić ją od zwykłego wyrażenia w nawiasie? W zapisie liczby zespolonej używamy przecinka (przy zapisie liczby rzeczywistej stosujemy kropkę).

Ze względu jednak na dość niską czytelność zapisu (a,b) najczęściej używana jest notacja a+ib, bo nie dość, że jest czytelniejsza, to łatwiej na takiej postaci przeprowadzać działania.

Funkcjonuje też jeszcze jeden niezwykle użyteczny sposób zapisu oraz na działania na tych liczbach, ale przedstawię go w następnym wpisie.

Link do komentarza
Funkcjonuje też jeszcze jeden niezwykle użyteczny sposób zapisu oraz na działania na tych liczbach, ale przedstawię go w następnym wpisie.

Postać trygonometryczna? ;>

Jeśli tak, to koniecznie napisz o Wzorze de Moivre'a.

Link do komentarza

Postać trygonometryczna? ;>

Jeśli tak, to koniecznie napisz o Wzorze de Moivre'a.

Dokładnie to, będzie wzór de moivre'a, będzie też zasadnicze twierdzenie algebry. Mam nadzieję, że w jednym wpisie się zmieszczę, chociaż może być słabo, zwłaszcza, że dowód zasadniczego twierdzenia algebry do najprostszych nie należy.

Link do komentarza
Gość
Dodaj komentarz...

×   Wklejony jako tekst z formatowaniem.   Wklej jako zwykły tekst

  Maksymalna ilość emotikon wynosi 75.

×   Twój link będzie automatycznie osadzony.   Wyświetlać jako link

×   Twoja poprzednia zawartość została przywrócona.   Wyczyść edytor

×   Nie możesz wkleić zdjęć bezpośrednio. Prześlij lub wstaw obrazy z adresu URL.

×
×
  • Utwórz nowe...