Osoby czytające ten wpis powinny być zaznajomione z pojęciem ciała oraz podstawowymi symbolami i pojęciami matematycznymi. Oba te zagadanienia zostały omówione w moich wpisach (tu i tu).
Abstrakt
Liczby zespolone zostały stworzone w celu ułatwienie obliczeń i unormowania sposobu myślenia w przypadku liczb ujemnych.
Składają się one z dwóch liczb rzeczywistych, stanowiących część rzeczytistą i urojoną.
Liczby zespolone z działaniami dodawania i mnożenia stanowią ciało.
Definicja
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (czyli dwie liczby rzezcywiste, przy czym ich kolejność ma znaczenie).
Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez .
Liczby zespolone zapisujemy w nawiasie, ja będę stosował nawias okrągły. Przykładowo .
Działania na zbiorze liczb zespolonych
Niech
- Dodawania
- Mnożenie
Tak definiujemy działania na liczbach zespolonych. Jest to jednak sposób absolutnie niepraktyczny i prawie nigdy się tak nie przeprowadza działań.
Łatwiejsze i bardziej uniwersalne sposoby na przeprowadzanie obliczeń przedstwię za chwilę.
Najpierw jednak...
Oznaczenia
- Liczbę zespoloną zapisujemy jako po prostu a.
- Liczbę zespoloną zapisujemy jako . Nazywamy tę liczbę jednostką urojoną.
- Liczbę zespoloną zapisujemy jako
- Liczbę zespoloną zapisujemy jako .
Obliczamy
Użyjemy działania rozpisanego wyżej aby obliczyć kwadrat jednostki urojonej.
Kwadratem jednostki urojonej jest -1
Bardziej praktyczne działania na zbiorze liczb zespolonych
Zapisujemy liczby zespolone w postaci sumy dwóch składników (korzystamy z ostatniego punktu oznaczeń), i otrzymujemy
- Dodawanie
- Mnożenie
Jak widać wyniki wychądzą te same, a nie trzeba pamiętać wzorów, można dodawać więcej liczb naraz itp.
Oznaczenia
Niech .
Wtedy powiemy, że a jest częścią rzeczywistą liczby z, oznaczamy a=Re z.
Analogicznie b jest częścią urojoną, oznaczamy b=Im z.
Liczbę nazywamy modułem liczby z, oznaczamy |z|.
Liczbę nazywamy liczbą sprzężoną do z i oznaczamy .
Na jeden wpis taka ilość informacji powinna wystarczyć, wkrótce pojawi się część druga, gdzie zajmę się potęgowaniem liczb zespolonych oraz postacią trygonometryczną.
Zadania
Jeśli ktoś ma chęć poużywać liczb zespolonych w celu nabycia wprawy w operowaniu nimi, przestawiam kilka prostych równań do sprawdzenia.
Niech z będzie liczną zespoloną
- suma z i sprzężenia z jest równa części rzeczywistej z pomnożonej przez 2.
- iloraz z i sprzężenia z jest równy modułowi z podniesionemu do kwadratu.
- Liczbą odwrotną do (niezerowego) z jest iloraz sprzężenia z przez kwadrat modułu z liczby z.
Przepraszam, że zadania w formie słownej, ale już przekroczyłem limit liczby wstawionych obrazków.
Jako ambitniejsze zadanie pozostawiam udowodnienie twierdzenia: Liczby zespolone wraz z działaniami dodawania i mnożenia, gdzie elementami neutralnymi są 0 i 1 tworzą ciało.
Podpowiedź w spoilerze:
Trzeba do tego celu zbadać czy zachodzą wszystkie warunki bycia ciałem. Można je sprawdzić w poprzednich wpisach.
W przypadku niejasności, uwag, pytań (również do zadań!) zachęcam do komentowania.
- 11
17 komentarzy
Rekomendowane komentarze