Wpis opublikowany przez Hakken
1037 wyświetleń
Abstrakt
Pierścień to struktura algebraiczna która porządkuje i formalizuje działania na liczbach całkowitych oraz działania modulo (arytmetykę modularną).
Zwłaszcza arytmetyka modulo okazuje się przydatna, między innymi w kryptologii.
Intuicyjnie pierścieniem jest zbiór z określonymi działaniami dodawania, odejmowania i mnożenia.
Definicja
Weźmy algebrę 
w której R jest niepustym zbiorem, 
to działania (funkcje) dwuargumentowe określone w tym zbiorze (
), a 0 to pewien element wyróżniony (neutralny dla dodawania).
Jeżeli ta algebra spełnia poniższe warunki, bo nazwana będzie pierścieniem.
- 0 jest elementem neutralnym dodawania
- Działanie dodawania jest łączne
- Każdy element ma element przeciwny
Element przeciwny do a często oznaczamy -a. - Dodawanie jest przemienne
- jest półgrupą z mnożeniem, które jest łączne (warunek jest prawie dokładnie taki sam jak powyżej formułowany warunek o łączności dodawania, ten jest taki sam, tylko zamiast dodawania mamy mnożenie).
- Zachodzą prawa rozdzielności pomiędzy tymi działaniami
- Działania są wewnętrzne (czyli ich wyniki należą do zbioru R)
jest półgrupą z mnożeniem, które jest łączne (warunek jest prawie dokładnie taki sam jak powyżej formułowany warunek o łączności dodawania, ten jest taki sam, tylko zamiast dodawania mamy mnożenie).
Inne rodzaje pierścieni
Możemy zdefiniować różne podobne struktury algebraiczne, przykładowo pierścień z jedynką który oprócz powyższych warunków wymaga, aby również dla mnożenia istniał element neutralny (jedynka).
Inne rodzaje pierścieni to pierścienie przemienne, w których mnożenie jest przemienne (
), czy też pierścienie bez dzielników zera.
Dzielniki zera
Dzielnikiem zera jest taki element pierścienia a, że istnieje dla niego element b należący do tego pierścienia, że 
).
Przykłady
Pierścień zawierający tylko jeden element.
Liczby całkowite ze standardowym mnożeniem i dzieleniem.
. Jest to zbiór liczb całkowitych od 1 do n-1, operacje dodawania i mnożenia są modulo n, czyli jeżeli wynik działania jest większy niż n, to wynikiem działania jest reszta z dzielenia wyniku (obliczonego standardowo) przez n (np. 
).
Macierze kwadratowe o ustalonym rozmiarze (moje wpisy o macierzach: pierwszy, drugi, trzeci).
Ideały
Ideałem pierścienia R nazwiemy taki podzbiór H, że
- H jest podgrupą .
.
Dla pierścienia przemiennego ostatnie dwa warunki są oczywiście równoważne.
Można również rozważać ideały lewo- lub prawostronne, wtedy należy wyrzucić odpowiednio warunek trzeci lub drugi.
Przykłady
Jednoelementowy zbiór zawierający zero jest ideałem.
W liczbach całkowitych ze standardowymi działaniami liczby parzyste są ideałem.
Generatory ideałów
Ideały mogą być generowane przez zbiór. Ideałem generowanym przez pewien zbiór jest zbiór powstały poprzez użycie mnożenia na wszystkich możliwych parach, gdzie jeden element pochodzi z pierścienia, a drugi z naszego zbioru generującego.
Jeżeli zbiór którym generujemy ideał jest jednoelementowy, to mówimy, że jest to ideał główny.
W przypadku gdy pierścień nie jest przemienny (czyli mnożenie w nim nie jest przemienne), możemy rozważać ideały lewo- oraz prawostronne ustawiając elementy z pierścienia odpowiednio po prawej lub po lewej stronie.
Przykłady
Dwójka w liczbach całkowitych generuje liczby parzyste.
Trójka w liczbach całkowitych generuje liczby podzielne przez 3.
To tyle na ten wpis, jak zawsze zachęcam do komentowania, dyskutowania i zadawania pytań.
9 komentarzy
Rekomendowane komentarze