Wpis opublikowany przez Hakken
1122 wyświetleń
W tym wpisie przedstawię podstawowe pojęcia używane do opisu macierzy.
Przed lekturą zachęcam do zapoznania się z częścią pierwszą, wprowadzającą do zagadnienia macierzy (link).
Operacje elementarne i schodkowanie macierzy
Za pomocą operacji elementarnych, czyli:
- mnożeniu wiersza macierzy przez skalar
- dodawania jednego wiersza do drugiego
- zamienianiu wierszy miejscami
możemy sprowadzić macierz do postaci trójkątnej górnej z jedynkami na diagonali.
Aby to zrobić najpierw dzielimy pierwszy wiersz przez wartość pierwszego elementu w pierwszym wierszu (tak, aby zaczynał się od jedynki) i od każdego wiersza odejmujemy pierwszy pomnożony przez taką liczbę, aby na pierwszym miejscu było zero. Następnie postępujemy analogicznie dla pozostałych wierszy, zamieniając jedynie pierwszy wiersz i pierwszą wartość na i-ty wiersz i i-tą wartość.
Okazuje się, że w takiej postaci dużo łatwiej jest wykonywać niektóre obliczenia.
Rząd macierzy
Rzędem kolumnowym macierzy nazywamy liczbę liniowo niezależnych kolumn, a rzędem wierszowym - liczbę liniowo niezależnych wierszy tej macierzy.
Rząd kolumnowy jest równy rzędowi wierszowemu, i nazywamy go rzędem macierzy.
Rząd macierzy łatwo jest obliczyć przez schodkowanie macierzy. Rząd macierzy będzie wtedy liczbą niezerowych wierszy które zostały po schodkowaniu.
Ślad macierzy
Śladem (oznaczamy tr) macierzy kwadratowej jest suma składników znajdujących się na diagonali.
Jądro macierzy
Jądrem macierzy (oznaczamy ker)
nazywamy taki zbiór wektorów 
.
Łatwo obliczyć jądro macierzy sprowadzonej do postaci schodkowej.
Obraz macierzy
Obrazem macierzy (który jest oznaczany przez im nazywamy wszystkie wektory, które mogą powstać w wyniki mnożenia jakiegoś wektoru przez tę macierz.
.
Obraz macierzy jest rozpięty przez kolumny tejże. Nie polecam jednak schodkować macierz przed wyznaczaniem obrazu, gdyż operacje na wierszach zmieniają obraz.
Wyznacznik - rozwinięcie Laplace?a
Macierzy kwadratowej możemy przypisać wartość zwaną wyznacznikiem.
Dla macierzy jeden na jeden wartością wyznacznika (oznaczanego przez det) jest właśnie ta wartość.
Jeżeli macierz jest wymiaru n na n, to wartością wyznacznika dla tej macierzy obliczamy tak:
- Wybieramy jakiś wiersz lub kolumnę. Przyjmijmy, że wybraliśmy wiersz (o numerze i), bo oba przypadki są symetryczne.
- Bierzemy po kolei
. Wtedy wyznacznik macierzy to suma , gdzie to macierz powstała z wykreślenia z aktualnej macierzy i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
. Wtedy wyznacznik macierzy to suma 
, gdzie 
to macierz powstała z wykreślenia z aktualnej macierzy i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Jest to dość powolna metoda (trzeba wykonywać dużo obliczeń), więc warto zauważyć, że jeżeli macierz jest w postaci trójkątnej górnej, to wartość wyznacznika jest równa iloczynowi składników na diagonali.
Przy sprowadzaniu macierzy do postaci trójkątnej w celu liczenia wyznacznika wolno jedynie dodawać do siebie poszczególne wiersze, bo inne operacje zmieniają wartość wyznacznika (mnożenie wiersza lub kolumny przez stałą mnoży wyznacznik przez tę samą wartość, natomiast zamiana wierszy (kolumn) miejscami zmienia znak wyznacznika).
Łatwo zauważyć, że jeżeli w macierzy jeden z wierszy jest kombinacją liniową pozostałych, to wartością wyznacznika jest zero. Łatwo to sprawdzić, wystarczy wyzerować jeden z tych wierszy (co jest możliwe, bo jest kombinacją liniową), a następnie względem tego wiersza zastosować rozwinięcie Laplace?a.
Warto też zapamiętać jak obliczać wyznacznik dla macierzy 2 na 2, jest to bardzo proste:
Przykład
Rozwiązania umieszczę w spoilerach, zachęcam do zmagań się z obliczeniami samemu i jedynie sprawdzeniu poprawności po zakończeniu.
Najpierw policzmy rząd macierzy.
W tym celu sprowadzimy macierz A do postaci trójkątnej górnej, ale bez mnożenia wierszy przez skalary, dzięki temu łatwo będzie policzyć wyznacznik
W pierwszym ruchu od drugiego wiersza odjąłem pierwszy, w drugim ruchu do drugiego wiersza dodałem trzeci, w ostatnim natomiast od trzeciego odjąłem drugi.
Nie wyzerował się żaden wiersz, więc wiersze są liniowo niezależne.
Rząd macierzy wynosi więc 3.
Teraz zajmijmy się śladem.
Następnie musimy policzyć jądro.
Wiersze tworzą układ liniowo niezależny, więc jądrem macierzy jest wektor zerowy.
Wyznaczmy teraz obraz.
Po obliczeniu rzędu macierzy stworzonej przez kolumny macierzy A okazuje się, że są one liniowo niezależne, więc są bazą
.Na koniec: wyznacznik.
Możemy użyć postaci schodkowej którą wyznaczyliśmy przy liczeniu rzędu macierzy. Wtedy widać, że
Możemy też użyć rozwinięcie Laplace'a względem trzeciego wiersza:
Wynik w obu przypadkach szczęśliwie taki sam.
Jako dodatkowe ćwiczenie polecam wyznaczyć wszystkie powyższe wartości dla innych macierzy, na przykład 
.
Następny wpis będzie już ostatnim (chwilowo...) wpisem poświęconym całkowicie macierzom.
Jak zawsze zachęcam do zadawania pytań i dyskusji w komentarzach.
3 komentarze
Rekomendowane komentarze