Wpis opublikowany przez Hakken
894 wyświetleń
Definicje
Wielomianem charakterystycznym macierzy nazwiemy 
, gdzie I jest macierzą identyczności, A natomiast badaną macierzą.
Pierwiastki wielomianu charakterystycznego nazywamy wartościami własnymi
Niech 
będzie jednokrotną wartością własną.
Wtedy rozwiązanie równania 
nazwiemy wektorem własnym.
Nie zawsze jednak jest tak łatwo - jakaś wartość własna może być przecież pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu charakterystycznego.
Wtedy trzeba wyznaczyć bazę podprzestrzeni 
.
Po zebraniu baz podprzestrzeni własnych dla każdej wartości własnej otrzymujemy bazę podprzestrzeni własnej.
Przykład
Weźmy
Policzmy teraz wielomian charakterystyczny.
Wartościami własnymi są więc 
o krotności 2 oraz 
, o krotności jeden.
Zajmijmy się najpierw piątką.
Bazą przestrzeni własnej dla piątki jest więc 
.
To samo musimy obliczyć dla drugiej wartości własnej, czyli dwójki.
To jest jednak pierwiastek podwójny, więc musimy wyznaczyć bazę 
.
Bazą tego jądra jest wektor 
.
Bazą podprzestrzeni własnej jest więc układ wektorów 
.
Zastosowania
Wartości i wektory własne okazują się użyteczne przy obliczeniach fizycznych (np. dla równania Schrödingera) lub przy wyznaczaniu postaci Jordana macierzy (czyli takiej postaci, gdzie na diagonali są wartości własne, bezpośrednio nad diagonalą jedynki lub zera, a wszędzie indziej zera).
Kolejnym zastosowaniem jest rozpoznawanie twarzy przez komputery.
8 komentarzy
Rekomendowane komentarze