[Wszystkie drogi prowadzą do Rzymu]Czyli krótka rozprawa o twierdzeniu Banacha na temat kontrakcji
Wpis opublikowany przez Hakken
994 wyświetleń
Uwaga!
Testuję nowy sposób zapisu, z obrazkami. Jest czytelniejszy, ale forum ma ograniczenie dotyczące liczby wstawiany obrazków, więc część znaków matematycznych musiałem napisać zwykłym tekstem (za co przepraszam).
Jeśli 
jest przestrzenią metryczną zupełną (czyli taką przestrzenią metryczną, że każdy ciąg Cauchy'ego określony na niej ma granicę w rzeczonej przestrzeni), natomiast 
jest kontrakcją, to
- f ma dokładnie jeden punkt stały x0
Dowód:
Z nierówności trójkąta mamy, że
To z kolei można ograniczyć z góry przez
.
Z tego otrzymujemy
Wprawny obserwator zauważy, że jeśli zarówno 
jak i 
są punktami stałymi, to 
, czyli x=y, co dowodzi, że jest tylko jeden punkt stały.
Teraz przyjmijmy, że Tn to n-krotne złożenie T ze sobą.
Pozostaje więc pokazać, że 
jest ciągiem Cauchy'ego oraz, że jest on zbieżny do 
, który jest punktem stałym w 
.
Zastąpmy więc w naszym równaniy x przez 
, a y przez 
:
, co można ograniczyć z góry przez 
, a to można zapisać jako
Wiemy, że 
oraz, że 
, więc 
jest ciągiem Cauchy'ego, co kończy dowód.
9 komentarzy
Rekomendowane komentarze