Wpis opublikowany przez Hakken
1072 wyświetleń
Uwaga!
Ze względy na brak znaków matematycznych formuły będę zapisywał w notacji MathJax.
Aby przerobić znaczki na symbole można użyć tej strony: http://www.mathjax.org/demos/.
W pole tekstowe należy wkleić moje formuły (wraz z symoblami dolara), a zinterpretowane równania pojawią się niżej.
Można też użyć jakiejś innej strony/programu intepretującego MathJax i wklić cały tekst, tak z pewnością by było nieco wygodniej, ale stracilibyście wtedy formatowanie tekstu za pomocą bbc.
Niech $G$ będzie niepustym zbiorem, a $\diamond$ działaniem na nim, czyli funkcją $\diamond: G \times G \rightarrow G$.
Mamy w takiej sytuacji doczynienia z grupoidem.
Jeśli dodatkowo działanie $\diamond$ będzie łączne, czyli
$\forall a,b,c\in G \ \ \ (a\diamond b)\diamond c= a\diamond(b\diamond c)$
To strukturę taką nazwiemy półgrupą.
Półgrupa z elementem neutralnym, czyli takim elementem $e\in G$, że
$\forall a\in G \ \ \ e\diamond a=a\diamond e=a$
nazywana jest monoidem.
Jeśli dodatkowo każdy element ma swój element przeciwny, to znaczy
$\forall a\in G \ \exists b\in G \ \ \ a\diamond b=b\diamond a=e$
to strukturę taką nazwiemy grupą.
Grupa w której działanie $\diamond$ jest przemienne, czyli
$\forall a,b\in G \ \ \ a\diamond b=b\diamond a$
nazywamy grupą abelową, lub po prostu przemienną.
Można również mówić o takich strukturach jak lupa czy quasi-grupa.
Quasi-grupa to struktura $(G,\diamond)$ taka, że każdy element ma element przeciwny (ale nie ma elementu neutralnego, a działanie $\diamond$ nie jest łączne!).
Lupa natomiast to quasi-grupa, ale z elementem neutralnym (działanie $\diamond$ wciąż nie jest łączne).
Przykładem grupy są liczby całkowite z działaniem dodawania, gdzie elementem neutralnym jest $0$, a przeciwnym do $x$ jest $-x$.
Warto zauważyć, że każdy element z grupy ma dokładnie jeden element odwrotny, i jest to element zarówno lewo- jak i prawostronnie odwrotny.
Dowód:
Niech $x,y,z\in G$ oraz niech $x\diamond y=e$ i $y\diamond z=e$.
Wtedy $z=e\diamond z=(x\diamond y)\diamond z=x\diamond (y\diamond z)=x\diamond e=x$.
Widać więc, że $z=x$, czyli element prawostronnie odwrotny równy jest elementowi lewostronnie odwrotnemu.
Niech teraz $x\in G$ oraz $y,y'\in G$ takie, że $x\diamond y=x\diamond y'=e$.
Wtedy $y'=e\diamond y'=(x\diamond y)\diamond y'=y\diamond (x\diamond y')=y\diamond e=e$
Z czego mamy, że $y'=y$, a więc element odwrotny jest tylko jeden.
Można równie łatwo pokazać, że jeśli $x,y,z\in G$ oraz $x\diamond y=z\diamond y$, to $x=y$. Nie będę tego jednak tutaj dowodził, jeśli ktoś chce to może spróbować, nie jest to trudne.
17 komentarzy
Rekomendowane komentarze